不等式选讲基本内容

绝对值三角不等式

• 如果\(a、b\)是实数，则\(||a|-|b||\leq |a \pm b|\leq |a|+|b|\)，

当且仅当\(ab\ge 0\)时，等号成立；

• 柯西不等式：\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd)^2\)，

\(a，b，c，d\in R\)，当且仅当\(\cfrac{a}{c}=\cfrac{b}{d}\)时取到等号；

引例，若\(2x+3y+z=7\)，求\(x^2+y^2+z^2\)的最小值。

\((2^2+3^2+1^2)\cdot (x^2+y^2+z^2)\ge (2x+3y+z)^2\)

即\(x^2+y^2+z^2\ge \cfrac{49}{14}=\cfrac{7}{2}\)，

当且仅当\(\cfrac{x}{2}=\cfrac{y}{3}=\cfrac{z}{1}\)，及\(2x+3y+z=7\)，

即\(x=1\)，\(y=\cfrac{3}{2}\)，\(z=\cfrac{1}{2}\)时取到等号。